MÉTODO DE ELIMINACIÓN POR REDUCCIÓN. Suma y resta.

El método de reducción consiste en eliminar una de las variables del sistema, al sumar o restar miembro a miembros las ecuaciones. Para esto se debe lograr que los coeficientes de una de las variables en el sistema sean inversos aditivos, usando el axioma de las ecuaciones.

Al utilizar el método de reducción para resolver una situación se procede como sigue:

1. Nombrar variables.
2. Escribir ecuaciones y simplificarlas si es posible.
3. Escribir una de las variables del sistema con coeficientes inversos aditivos.
4. Reducir el sistema sumando miembro a miembro las ecuaciones.
5. Resolver para la variable no eliminada y luego para la otra variable mediante sustitución.

Ejemplos de resolución por el método de reducción.
Ejemplo 1. Un bote se desplaza río abajo \(30Km\) en una hora y río arriba \(12km\) en una hora. Suponiendo la rapidez del bote y del río como constantes, determinar ambas rapideces.
Solución: sea \(x\) la rapidez del bote y sea \(r\) la rapidez del río.
Río abajo: \(vt=d \Longrightarrow \left(x+r\right)t_1=d\)
Río arriba: \(\left(x-y\right)t_2=d\) Para \(t_1=t_2=1h.\)
$$\left\{\begin{array}1(x+r)t_1=30~~~río~abajo\\(x-r)t_2=12~~~río~arriba\end{array}\Longrightarrow\left\{\begin{array}1x+r=30~~~~~~\fbox{$1$}~~~~~~~~~~~~~~~\\\underline{x-r=12}~~~~~~\fbox{$2$}~~~~~~~~~~~~~~~\\2x~~~=42\Longrightarrow x=21~~~~~~\end{array}\right.\right.$$ Dado que \(x+r=30\) entonces \(21+r=30~~~\therefore~~ r=30-21=9.\) Luego la rapidez del bote es \(21km/h\) y la del río \(9km/h.\)

Ejemplo 2. La medida del contorno de un terreno rectangular es \(72m.\) Si el largo se disminuye en \(2m\) y el ancho se aumenta en \(4m,\) el área se aumenta en \(52m^2\) Determinar las dimensiones del terreno.

Solución: sea \(w\) la longitud del ancho y sea \(l\) la longitud del largo.
$$\left\{\begin{array}12w+2l=72\\(w+4)(l-2)=wl+52\end{array}\Longrightarrow \left\{\begin{array}12w+2l=72~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\fbox{$1$}\\wl-2w+4l-8=wl+52~~~~\fbox{$2$}\end{array}\right.\right.$$ $$\mathrm{simplificando~ se~ tiene}~~\left\{\begin{array}12w+2l=72~~~~\fbox{$1$}\\w-2l=-30~~~\fbox{$2$}\end{array}\Longrightarrow \left\{\begin{array}12w+2l=72\\\underline{~~~~w-2l=-30}\\3w~~~~~~~~~=42\end{array}\right.\right.$$ De donde \(w=14\) y como \(2w+2l=72\) se tiene: \begin{align} 2(14)+2l&=72\\ 28+2l&=72\\ 2l&=72-28\\ 2l&=44\\ l&=22\ \end{align} Así que el ancho \(w=14m\) y el largo es \(l=22m\).

Ejercicio 3. Un tanque de 100 galones se llena de agua en la que se disuelven 50 lb de sal. Un segundo tanque contiene 200 galones de agua con 75 lb de sal. ¿Cuánto debe sacarse de ambos tanques y mezclarse para obtener una solución de 90 galones con 4/9 lb de sal por galón?
Solución: sean \(x\) y \(y\) las cantidades en galones a mezclarse de cada uno de los tanques. $$\left\{\begin{array}1x+y=90\\\frac{50}{100}x+\frac{75}{200}y=\frac49(90)\end{array}⟹\left\{\begin{array}1x+y=90\\4x+3y=320\end{array}\right.\right.$$ Resolviendo por reducción se debe escribir una de las variables con coeficientes inversos aditivos, de donde, $$\left\{\begin{array}1-4x-4y=-360\\\underline{4x+3y=~320}\\ -y=-40 \end{array}\begin{array}~~~~~~~\mathrm{de~ donde}~~y=40\\ ~~~~~~\mathrm{como}~~x+y=90~~\mathrm{entonces}\\x=50\end{array}\right.$$ Luego se deben mezclar cincuenta galones del primer tanque y cuarenta del segundo para obtener noventa galones con \(4\mathrm{lb}/9\mathrm{galón}\) de sal por galón.